2º Bcto. Tema 4. Sistemas lineales con parámetros

4.1 Teorema de Rouché- Fröbenius. Gracias a www.hiru.eus 

Con el enunciado del teorema debido al francés Eugène Rouché y al alemán Georg Ferdinand Fröbenius se hace posible resolver cualquier tipo de sistema de ecuaciones de primer grado, tenga o no solución. En esencia, este teorema se basa en el análisis del rango de las matrices representativas del sistema.

Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya expresión general sería:

se pueden definir su matriz de coeficientes C y su matriz ampliada A como:

Según el teorema de Rouché-Fröbenius, la condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas sea compatible (tenga solución) es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada.

Discusión y clasificación de sistemas lineales

Como consecuencia de la aplicación del teorema de Rouché-Fröbenius, los sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas se pueden discutir y resolver con cierta rapidez. Así, se tiene que:

• Si los rangos de las matrices de los coeficientes y ampliada son iguales, el sistema es compatible (tiene solución). Si el número de incógnitas es igual a dicho rango, será determinado (una solución), y si el número de incógnitas es mayor que el rango, el sistema es indeterminado (infinitas soluciones).
• Cuando los rangos de las matrices de los coeficientes y ampliada son distintos, el sistema es incompatible (no tiene solución).

Discusión de un sistema por el teorema de Rouché-Fröbenius.

Resolución por el teorema de Rouché-Fröbenius

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales basándose en el teorema de Rouché- Fröbenius, se procede del modo siguiente:

• Se discute el sistema, analizando los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.
• Si el sistema es compatible determinado, se toma el menor de la matriz de los coeficientes que ha dado el rango.
• El sistema equivalente que resulta se resuelve por la regla de Cramer .

   

4.2 Regla de Cramer y forma matricial.

Dado el sistema u₁x+v₁y+w₁z=b₁

                         u₂x+v₂y+w₂z=b₂

                         u₃x+v₃y+w₃z=b₃

4.3 Resolución de sistemas de cuatro ecuaciones.

Tutorial para la solución de sistemas de ecuaciones 4 incognitas de Jorge Villa

4.4 Discusión de un sistema con parámetros.

1. Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes (rango C = r ).

2. Calculamos el rango de la matriz ampliada (rango A = r' ).

3. Aplicamos el teorema de Rouché.

·         r = r'               Sistema Compatible.

1. r = r'= n    Determinado.
2. r = r'≠ n    Indeterminado.

·         r ≠ r'               Sistema Incompatible.

4. Si el sistema es compatible determinado se resuelve por la regla de Cramer (se puede resolver mediante el método de Gauss que es mucho más fácil).

5. Si el sistema es compatible indeterminado se resuelve teniendo en cuenta que 

·         El número de ecuaciones = rango

·         El número de parámetros = nº de incógitas menos el rango